Aclaración por las dudas: Antes de encarar estos ejercicios, es muy muy importante que hayas visto antes la clase de Derivabilidad en funciones partidas! Vamos a usar todo lo que vimos en esa clase y resolver ejercicios de la misma onda.

Lo primero que quiero que te des cuenta es que, si esta función puede llegar a tener problemas de continuidad en algún punto, justamente va a ser en $x=0$, que es donde la función se parte. Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \): a) \( f(0) = 0 \) b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a cero. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda: \( \lim_{{x \to 0^-}} (-x) = -0 = 0 \) \( \lim_{{x \to 0^+}} (x) = 0 \) Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $0$. c) El límite cuando $x$ tiende a cero existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$

Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \): En este caso, tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte. \( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)

En este caso, fijate que según si $h$ tienda a cero por derecha o por izquierda, lo de adentro de $f$ va a tender a algo menor a cero o mayor a cero, y por lo tanto la expresión a usar es distinta. Necesariamente tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda: 

Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \): \( f'(0) = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{-h - 0}{h} = -1 \) Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \): \( f'(0) = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h - 0}{h} = 1 \) Los límites por derecha y por izquierda no coinciden, por lo tanto, \( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \text{No existe} \)  

Esto significa que la función no es derivable en \( x = 0 \).